Ecuaciones diferenciales de segundo orden

En la Unidad 1 exploramos las diversas técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, sin embargo, es posible explorar algunos problemas un poco más avanzados realizando modelos en los que se consideren una mayor cantidad de variables.

En las ciencias e ingenierías es posible modelar un sistema físico mediante una ecuación diferencial. Casi se podría afirmar que todo sistema mecánico tiene asociado en sí una ecuación diferencial, que, dependiendo del grado de proximidad a la realidad requerida, en estas aparecerán uno o varios términos que permiten refinar el modelo.

Un buen ejemplo es al realizar un modelo de un sistema masa resorte, según el cual a partir de la Ley de Hooke se establece que un resorte ejerce una fuerza sobre una masa sujeta a él proporcional a kx, donde k se denomina la constante de elasticidad y x el desplazamiento de la masa a partir del punto de equilibrio.

Si se realizan algunas aproximaciones, como que no hay fricción entre la masa ni la superficie sobre la cual se desplaza el bloque, no se considera la masa del resorte, ni hay interacción con el aire, es posible, en primera aproximación, deducir que este sistema obedece una ecuación diferencial de la forma:

La cual es una ecuación diferencial de segundo orden. Al resolver esta ecuación diferencial, es posible determinar la posición, velocidad y aceleración de la masa sujeta al resorte en cualquier instante de tiempo, y como el sistema considerado es un sistema oscilatorio que realiza un movimiento armónico simple

Entonces también es posible asociar a las anteriores cantidades el periodo y la frecuencia, esto si se define quela expresión quedaría de la forma

Dónde ω se define como la frecuencia angular de oscilación. Este tipo de modelos, además de funcionar para modelar sistemas mecánicos, también funcionan para modelar sistemas eléctricos y la única diferencia entre estos es la interpretación de los coeficientes presentes en las ecuaciones diferenciales a resolver.

¿Qué sistema mecánico oscilatorio podría usarse en su quehacer laboral y como formularía la ecuación diferencial asociada?